Payez s’il vous plait ! Le huitième problème de Hilbert n’est toujours pas résolu

Tous les quatre ans, des mathématiciens du monde entier sont invités au congrès international de mathématiques. Ainsi également le 8 août 1900 à Paris. La ruée n’a pas été aussi importante que prévu, au lieu des 1000 mathématiciens attendus, il n’y en avait qu’environ 250. L’un d’eux était le célèbre mathématicien allemand David Hilbert, qui était président de la section d’algèbre et de théorie des nombres. Contrairement à beaucoup de ses collègues, il n’a pas voulu parler de ce qui a déjà été réalisé, mais de l’avenir des mathématiques et de ce qui peut encore être réalisé dans le siècle à venir.

Ainsi disait-il au début : « Qui d’entre nous n’aimerait pas lever le voile sous lequel se cache l’avenir, jeter un regard sur les progrès à venir de notre science et sur les mystères de leur développement au cours des siècles à venir ! seront les objectifs auxquels aspirent les grands esprits mathématiques des générations à venir ? Quelles nouvelles méthodes et quels nouveaux faits les siècles nouveaux découvriront-ils – dans le vaste et riche domaine de la pensée mathématique ? »

Conjecture de Goldbach : un million d’euros pour la preuve

Dans sa conférence, il a présenté une liste de problèmes mathématiques non résolus. La solution de ces problèmes est la tâche du XXe siècle. Même si la réaction locale fut modérée, Hilbert exerça une énorme influence sur le développement des mathématiques. En raison de sa notoriété, sa liste a rapidement gagné en popularité. 100 ans plus tard, l’éditeur britannique Faber and Faber a offert un prix d’un million d’euros pour la résolution du huitième problème – également connu sous le nom de conjecture de Goldbach.

L’éponyme de la conjecture de Goldbach est le savant Christian Goldbach. Goldbach lui-même n’était pas un grand mathématicien, plus tard dans sa vie, il n’a poursuivi les mathématiques que pendant son temps libre. Dans ses jeunes années, cependant, il a rencontré d’importants mathématiciens, dont Leonhard Euler. Il a été un correspondant proche d’Euler pendant plus de 35 ans. Les lettres portaient principalement sur des problèmes et des solutions en théorie des nombres, et ainsi Goldbach a exprimé l’hypothèse dans une lettre en 1947 que tous les nombres impairs supérieurs à 5 peuvent être représentés comme la somme de trois nombres premiers. Ceci est considéré comme la conjecture faible de Goldbach. Il a ensuite été resserré: la conjecture forte de Goldbach stipule que tout nombre pair supérieur à deux peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers.

Ceci peut être vérifié rapidement pour les petits nombres : 4 = 2+2 ; 6= 3+3 ; 8= 5+3 ; 10= 7+3. Euler était également d’accord avec Goldbach dans sa réponse. Entre-temps, les ordinateurs ont testé la théorie pour tous les nombres jusqu’à 18 chiffres. Puisqu’il n’y a pas encore de réfutation, Goldbach semble avoir raison. Mais quelques calculs informatiques ne suffisent pas à résoudre le huitième problème de Hilbert. L’explication généralement valable manque toujours et le prix en argent de l’année 2000 n’a donc jamais été payé.

Un parcours difficile

Après que le mathématicien français Olivier Ramaré ait prouvé en 1995 que tout nombre pair peut être représenté comme la somme d’au plus six nombres premiers, le huitième problème est devenu silencieux. Après de très nombreuses tentatives infructueuses de divers mathématiciens, c’est le médaillé Filets Terence Tao qui a redonné vie à la recherche avec ses découvertes sur la faible conjecture de Goldbach. En 2012, il a publié un article en ligne qui visait à prouver que tout nombre impair naturel supérieur à 1 peut être représenté comme la somme d’au plus cinq nombres premiers. Tao était alors convaincu qu’il pouvait réduire le nombre à trois nombres premiers et prouver ainsi la faible conjecture de Golbach. Cependant, le mathématicien péruvien Harald Helfgott l’a devancé.

En 2013, Helfgott a publié un article de 133 pages destiné à prouver la conjecture faible de Golbach. Comme Tao, il utilisa la méthode du cercle développée par Hardy et Littlewood en 1928, les travaux du mathématicien Vinogradov et le grand tamis selon Yuri Linnik. Vinogradov avait déjà prouvé avec sa méthode en 1937 que la conjecture faible de Golbach est valable pour des nombres suffisamment grands. Or, ce nombre suffisamment grand était ≈2×10 à l’époque des travaux d’Helfsgott¹³⁴⁶. Non seulement un nombre aussi élevé est difficilement compréhensible pour les humains, mais il laisse également de nombreux nombres ouverts dont la preuve n’a pas encore été trouvée.

Le travail d’Helfsgott est toujours dans le processus d’évaluation par les pairs, mais a déjà été largement reconnu. Son travail est une étape majeure sur la voie de la preuve de la forte conjecture de Golbach.

Entre-temps, l’une ou l’autre question se pose de savoir si le huitième problème de Hilbert peut être résolu. Lors du deuxième congrès international de mathématiques, où Hilbert présenta sa liste, personne ne connaissait le théorème d’incomplétude de Gödel. Hilbert lui-même était le fondateur du programme Hilbert – un programme de recherche dans le but de prouver la cohérence des systèmes d’axiomes des mathématiques avec des méthodes finies.

Le 21ème siècle est-il suffisant ?

Mais cet objectif n’était qu’un vœu qui ne devait jamais se réaliser. 31 ans après la publication de la liste de Hilbert, Kurt Gödel, qui n’avait alors que 25 ans, publia le théorème d’incomplétude. Cela stipule que dans tous les systèmes cohérents suffisamment forts, il existe des déclarations indémontrables et que chaque système cohérent suffisamment fort ne peut pas prouver sa propre cohérence.

Il reste à déterminer si la conjecture de Goldbach fait partie des conjectures qui ne peuvent être prouvées. Cependant, de nombreux mathématiciens soupçonnent que ce siècle, comme le précédent, ne suffira probablement plus à cela.

(moi)